1급 전파공학전기통론빈출 낮음

정전콘덴서의 전위차와 축적된 에너지와 관계식을 나타내는 곡선은?

직선

포물선

쌍곡선

원

상세 해설

정답 해설

콘덴서에 축적되는 에너지는 $W = \frac{1}{2} C V^{2}$ [J]로 표현됩니다. 정전용량 $C$ 가 일정할 때, 에너지 $W$ 는 전위차 $V$ 의 제곱에 비례하는 2차 함수( $y = a x^{2}$ 형태)입니다. 이 관계를 그래프로 그리면 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선(parabola)이 됩니다. 이 공식은 콘덴서를 충전하는 과정에서 미소 전하 $d q$ 를 전압 $v = q / C$ 에서 이동시키는 일의 적분으로 유도됩니다: $W = \int_{0}^{Q} v d q = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C V^{2}$ .

학습 팁

그래프 형태 암기: 1차 비례( $y = a x$ ) → 직선, 2차 비례( $y = a x^{2}$ ) → 포물선, 반비례( $y = a / x$ ) → 쌍곡선. 콘덴서 에너지 공식 3형태: $W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} Q V$

오답별 해설

1. 직선

직선( $y = a x$ )은 에너지가 전위차에 1차 비례하는 경우입니다. 하지만 $W = \frac{1}{2} C V^{2}$ 에서 $V$ 의 지수가 2이므로 직선이 아닌 포물선입니다. 인덕터의 전류-자속 관계( $Φ = L I$ )는 직선입니다.

3. 쌍곡선

쌍곡선( $y = a / x$ )은 반비례 관계를 나타냅니다. 콘덴서 에너지를 전하량 $Q$ 로 표현하면 $W = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ 로 여전히 제곱 관계이며, 쌍곡선이 아닙니다. 쌍곡선의 예: $P V = n R T$ (보일의 법칙).

4. 원

원( $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ )은 에너지와 전위차의 관계로 나타나지 않습니다. 원은 두 변수가 제곱합으로 연결된 경우에 나타나는 도형입니다.